[数学建模小论文]
高中数学中有许多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特殊情形的讨论,却很容易被忽略。也就是在转化过程中,没有注意转化的等价性,会经常出现错误。本文通过几个例子,剖析致错原因,希望能对同学们的学习有所帮助。
一、 忽视隐含条件,导致结果错误
例1 求函数y= 的值域
错解 (用判别式法)
将原函数变形得:(y-1)x2+(y-4)x-3(2y+1)=0 ①
当y=1时,①式化为 –3x=9,有解x=3;
当y≠1时,∵①式中x∈R
∴△=(y-1)2+4×3(y-1)(2y+1)≥0
即:25y2-20y+4≥0, 解这个不等式得y∈R
综上:原函数值域为:y∈R
分析 没有注意定义域对值域的影响,扩大了y的取值范围。
事实上,原函数要有意义,必须有:x2+x-6≠0即x≠2且x≠-3,在此前提下,原函数可化为:y= = (y-1)x=2y+1
∴y≠1 且x= ≠-3 解得y≠1且y≠
∴原函数值域为:y∈(-∞, )∪( ,1)∪(1,+∞)
例2 已知(x+2)2+ =1,求x2+y2的取值范围。
错解 由已知得 y2=-4x2-16x-12,
因此 x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+ )2+
∴当x=- 时,x2+y2有最大值
即x2+y2的取值范围是(-∞, ]
分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制,丢掉了最小值。事实上,由于(x+2)2+ =1得(x+2)2=1- ≤1,∴-3≤x≤-1从而当x=-1时x2+y2有最小值1。x2+y2的取值范围是[1, ]
二、 忽视不等式中等号成立的条件,导致结果错误。
例3 已知:a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。
错解 (a+ )2+(b+ )2=a2+b2+ + +4
≥2ab+ +4≥4 +4=8
∴(a+ )2+(b+ )2的最小值是8
分析 上面的解答中,两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab,第一次等号成立的条件是a=b= ,第二次等号成立的条件是ab= ,显然,这两个条件是不能同时成立的。因此,8不是最小值。
事实上,原式= a2+b2+ + +4=( a2+b2)+( + )+4
=[(a+b)2-2ab]+[( + )2- ]+4
=(1-2……
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