[数学建模小论文]
[摘 要] 刘徽的“割圆术”是中国数学史上的重要成就之一,其中包含着中国数学家对无限问题的独特认识和致用的处理方式. 很多高等数学教科书在讲述极限概念时大都提及,但所述,并未体现刘徽本意. 刘徽的“割圆术”是为证明圆面积公式而设计出来的一种方法,其融合了庄、墨两家理解和处理无限问题的方法,并且使用了数列极限的“夹逼准则”和不可分量可积的预设. 通过这些相关知识的历史考察,试图以HPM 的方法来辅助解决极限概念教学的难题.
[关键词] 刘徽;割圆术;无限;可积
《高等数学》[ 1 ] 在讲授数列极限概念之前,介绍了我国古代数学家刘徽的割圆术中极限思想,进而引入数列极限的描述定义. 实际上,刘徽借“割圆术”方法,凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式,以“不可分量可积”前提、“夹逼准则”等知识证明了圆的面积公式,运算中包含着微积分的思想. 另外要指出的是,他利用证明圆面积公式所设计出的机械性的算法程序,求得的圆周率的近似值———徽率（157÷50）. 郭书春先生认为,刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明. [2 ]
1 刘徽的“割圆术”
我国古代数学经典《九章算术》第一章“方田”中有我们现在所熟悉圆面积公式“半周半径相乘得积步”. 魏晋时期数学家刘徽为证明这个公式,于公元263 年撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇长约1800 余字的注记———“割圆术”.
“⋯⋯割之弥细,所失弥少. 割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣! 觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表. 若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径. 表无余径,则幂不外出矣. 以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍,故以半周乘半径而为圆幂. ”[3 ]&n……
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