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“成比例线段”定理及其应用与拓展

[数学建模小论文]    成比例线段问题贯穿平面几何的《相似形》与《圆》两大章的内容，本文将从成比例线段的定义，性质及如何证明四条线段成比例问题作出探讨。
    在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
    例：如果a、b、c、d四条线段满足，则a、b、c、d是成比例线段。
    如果，则ad=bc;如果，则即；
    如果，则（∵a、b、c、d为线段，∴）。
    证明四条线段成比例问题，是常见的一种类型证明题，此类型题如果能清晰地给学生讲明思路，学生将会茅塞顿开，他们的聪明才智和奇妙思想都将一齐涌现出来，得到问题的最佳证明。
    一、从基本图形得到四条线段成比例
    （1）、平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如基本图1，L1//L2//L3，L4交L1、L2、L3于分别于点A、B、C，L5交L1、L2、L3于分别于点D、E、F，则AB/BC=DE/EF
    （基本图1）
    此定理课本《几何》第二册并没有给出严密证明，现证明如下：
    证明：
    连AE、BD、CE、BF
    ∵AD//BE//CF
    ∴S△ABE =S△BED， S△BCE=S△BE
    ∵AB/BC=S△ABE/S△BCE，DE/EF=S△BED/S△BEF
    ∴AB/BC=DE/EF
    （2）、由平行线分线段成比例定理的推论得四条线段成例。
    如基本图2、基本图3
    （基本图2）　　　　　　　　　　（基本图3）
    AD/DB=AE/EC
    ……

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投稿人：gtr

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