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众里寻他——求解一类恒成立问题的通法

[小学数学论文]             充分挖掘隐藏在数学知识和数学思想方法中的人文价值，是每位数学教师义不容辞的责任。在求解恒成立问题中的参数取值时，通常采取等价转化的方法。但有时直接等价转化比较困难，这时采取的方法是：先确定参数所在范围——“众”，再从“众”里寻出参数的最终范围——“他”，同样也能达到等价转化的目的。这种求参数的方法，称为“众里寻他”。下面就让我带你追寻“他”的行踪，一睹“他”的尊容。
        小隐于野
        例1：关于x的不等式ln（1+x）<ax在（0，+∞）上恒成立。求实数a的取值范围。
        分析：通常考虑通过分离常数，等价转化为求函数的最值或值域。但函数f（x）= 1n（1+x）/x（x>0）的最大值或值域不易求得，尝试用“众里寻他”法。
        解：ln（1+x）<ax在（0，+∞）上恒成立ln（1+x）-ax<0在（0，+∞）上恒成立。设h（x）=ln（1+x）-ax，则h′（x）=1/1+x-a。
        若a≥1，则x∈（0，+∞）时，h′（x）=1/1+x-a<0恒成立。
        ∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，+∞）上为减函数，有ln（1+x）-ax<h（0）=0。
        即ln（1+x）<ax在（0，+∞）上恒成立。若a≤0显然不满足条件。
        若0<a<l，则h′（x）=1/1+x-a=0，x=1/a-1，∴x∈（0，1/a　-1）时h′（x）>0。
        ∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，1/a　-1）上为增函数.
……

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投稿人：fd4rtf

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