[小学数学论文]
[摘 要] 从最小势能原理出发,使用变分-差分方法构造带有弯曲边梁的薄板的小挠度弯曲问题的差分格式,所得格式仅依赖板面网格结点,从而避免了由于引入虚拟网格结点而带来的问题;编制求解差分方程组的MATLAB程序,给出数值模拟结果.
关键词薄板弯曲问题边梁变分差分方法数值模拟
0 引言弹性地基上具有弯曲边梁的薄板的小挠度弯曲问题为四阶椭圆型偏微分方程边值问题,边界条件中涉及到了沿边界法线方向的高阶导数,对于放置于不均匀地基上的不均匀、变厚度板来说,该问题还具有“变系数”的特点.Chugh,Gesund,Bradley等由弯曲问题的平衡方程出发,构造了弯曲微分方程的差分格式,但在处理边界条件时,却必须借助于板面以外的虚拟网格结点[1,2],萨马尔斯基和安德列耶夫由最小势能原理出发构造了弯曲问题的差分格式,但仅在均匀等厚度条件下讨论了边界条件[3],曲小钢等依据变分原理构造了周边自由的非均匀变厚度板弯曲问题仅依赖板面网格结点的差分格式[4],使得变分-差分方法用于边梁效应的数值模拟成为可能.
1 变分模型与平衡方程模型考虑图1所示矩形板的弯曲问题,该系统的总势能为[5]J(w) = Ω12D2wx212+2wx222+2μ2wx212wx22+2(1-μ)2wx1x22+12Cw2-qwdx1dx2+12 ΩEbI2wt22dl-∑4i=1piw(Pi), (1)其中w为板的挠度,D=Eh312(1-μ2)为板的弯曲刚度,E为板的弹性模量,μ为板的Poisson系数,h为板厚,C为地基系数,q为面布横向荷载的集度,EbIi(i=1,2,3,4)为各边梁的弯曲刚度,pi(i=1,2,3,4)为角点力.根据变分原理,相应的弯曲微分方程和边界条件为2x21D2wx21+μ2wx22+22x1x2D(1-μ)2wx1x2+2x22D2w……
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