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一种降阶法求解投影连续时序Lyapunov方程

[小学数学论文]    
    摘 要:利用矩阵的实schur分解,提出了一种降阶法求解大规模投影连续时序Lyapunov方程.该方法先将矩阵进行块对角化,然后将大规模Lyapunov方程的求解转化为一系列低阶Lyapunov方程的求解,进而得到方程的解.在文章最后部分,给出了具体数值实例对该方法进行说明.
    
    关键词:Lyapunov方程;模型降阶;投影方程;连续时序
    
    0 引 言
    
    设A∈Rn×n,C∈Rn×n,方程AX+XAT+C=0(1)称为连续时序Lyapunov方程.该方程在动力系统的稳定分析、优化控制理论中有着非常重要的应用,如可用于计算H2和Hankel范数,平衡截断模型的降阶等方面.这些应用可参考文献[1,2,3,4].求解方程(1)的常用直接方法有Bartels-Stewart方法[5], Harmmarling方法[6], Hessen-berg-schur方法[7]和符号函数方法[8,9]等.对于方程(1),文献[10]给出了其有唯一解的充分必要条件.引理1.1[10]设A∈Rn×n,则方程(1)有唯一解的充分必要条件是任取A的两个特征值λ,μ,都有λ+μ≠0.由引理1.1知,若A奇异,则方程可能无解,即使有解,也并不唯一,因此必须给出一定限制条件,才能保证解的唯一性.为此,本文讨论如下投影连续时序Lyapunov方程的解:AX+XAT+PC=0X=PX,(2)其中A,B,C∈Rn×n,且A是奇异的,P为A的不变子空间上的谱投影.对于投影连续时序方程的数值解, T.style在文献[11]中做了较为详细的阐述,并进行了扰动分析,本文在此基础上,通过矩阵的实schur分解,将大规模矩阵方程计算进行降阶,求出其解,并给出算法和数值实例.为方便起见,本文作如下符号约定:OR∈Rn×n表示n阶实正交矩阵;λ(A)表示方阵A的谱;‖A‖F表示矩阵A的Frobenius范数;diag(d1,d2,…,dn)表示n阶对角矩阵.
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