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圈长和顶点数给定的单圈图的Laplace谱半径排序

[小学数学论文]    
    摘要:只含一个圈的简单连通图称为单圈图.郭继明给出了固定圈长的单圈图的Laplace谱半径并刻画了相应的极图.该文在此基础上确定了圈长为g的所有n=g+k(g≥5,k≥3)阶单圈图的Laplace谱半径从大到小的前[g/2]个图.
    
    关键词:单圈图; Laplace矩阵; Laplace谱半径;特征多
    
    设G为n阶有限无向简单图,其顶点集为V(G)={v1,v2,…,vn}.d(vi)为点vi的度,简记为di.A(G)和D(G)=diag{d1,d2,…,dn}分别为G的邻接矩阵和度对角矩阵.G的Laplace矩阵定义为L(G)=D ( G)-A ( G).Φ( L ( G); x)=det(xI-L(G))表示L(G)的特征多项式,简称G的特征多项式,有时候简记为Φ(L(G))或Φ(G).L(G)的特征值简称为图G的特征值,称L(G)的最大特征值为G的谱半径,记为μ(G).L(G)为实对称矩阵,其特征值均为实数.图的Laplace矩阵的特征值不但有着重要的图论意义,而且在物理、化学、生物和计算机网络中有着广泛的应用.因而越来越引起人们的关注,可参考相应的文献[1-4].为了方便起见,本文中总假定d1≥d2≥…≥dn,则G的度序列π(G)=(d1,d2,…,dn).单圈图是边数等于顶点数的简单连通图,它可以看成是n阶树在某两个顶点之间连一条边而得到的.单圈图的邻接谱的研究已有许多文献,例如文献[5],但是单圈图的Laplace谱的研究尚不多见.文献[6]给出了阶数固定的树的Laplace矩阵的谱半径的分布.
    
    记Cg是一个有g个顶点的圈,Cg的顶点为1,2,…,g.将Cg的某个顶点分别与Kk-1的最大度点和P3的某个一度点粘合,得到的图记为F(图1).将Cg的顶点1与Kk的最大度点粘合,同时将Cg的顶点i与P2的某个一度点粘合,得到的图记为Fi(i=1,…, g)(图1).容易看出, F, Fi(i=1,…,g)都是有n=g+k个顶点的单圈图……
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