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复矩阵的Hadamard乘积正定性

[小学数学论文]    
    摘 要:把文献《关于实方阵的正定性》的定理6中实对称正定矩阵和实正定矩阵分别推广到Hermite正定矩阵和复正定矩阵中去,得到了复正定矩阵与Hermite正定矩阵的Hadamard乘积是复正定矩阵的结论,并给出了2个推论。
    
    关键词:对称矩阵;非奇异方阵;共轭矩阵; Hadamard乘积;复方阵
    
    矩阵的Hadamard乘积是一种重要的矩阵乘积,是工程技术中重要的数学工具,特别是在控制理论、信息通信等领域被广泛地应用。本文研究了复正定矩阵与Hermite正定矩阵的Hadamard乘积,得到的结果具有一定的理论价值和应用价值。
    
    1 有关定义与结论
    
    定义1 设A∈Rn×n,若对任何非零向量x∈Rn×1,都有xTAx >0则称A为实正定矩阵。特别地,当A为实对称矩阵时,称A为实对称正定矩阵。定义2 设A∈Cn×n,若对任何非零复向量x∈Cn×1都有Re(xHAx) >0则称A为复正定矩阵。特别地,当AH=A时,称A为Hermite正定矩阵。对于复正定矩阵,一个最简单的事实是下面的定理1。
    
    定理1 设A是复正定矩阵,A=(aij)n×n∈Cn×n,则Re(aii)>0(i=1,2,…,n)。证明 因A是复正定矩阵,取n维复向量x是第i分量为1其余分量都是0,这时就有Re(xHAx) =Re(aii) >0, i =1,2,…,n
    
    关于Hermite正定矩阵和复正定矩阵已经有了很多研究成果,现把本文要用到的成果归纳在下面的定理中。
    
    定理2 设A∈Cn×n,则有:
     ……
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