[小学数学论文]
摘要: 研究一个描述血吸虫病的周期微分方程模型dxdt=-rx+AS(t)y, dydt=-δ(t)y+B(S(t) -y)x21 +x.数值计算发现该系统同时具有渐近稳定的零解和一个正周期解.通过证明该系统解的有界性,并在一个函数空间上构造单调有界序列,进而证明了在一定条件下正周期解的存在性.
关键词: 数学模型;周期解;稳定性
1 问题的提出
血吸虫病在我国曾经造成巨大的危害,是我国流行的主要寄生虫病.新中国成立以来,已开展了大量的血吸虫病流行病学的研究和防治工作,并取得了巨大的成就.但目前血吸虫病仍然是我国部分地区的主要的公共卫生问题.血吸虫病的生命历程是很复杂的.雄蠕虫和雌蠕虫在寄主体内交配之后,雌蠕虫产卵,其中有些随粪便排出,其余进入体内各个器官引起疾病.如卵接触淡水,就孵出幼虫,为完成这一循环,幼虫必须刺入钉螺体内.一个钉螺一旦受到这样的感染,就通过无性繁殖方式产出大量幼虫,成为尾蚴.每个尾蚴无拘无束地游动着,伺机刺入寄主体内完成这一循环.
对于血吸虫病数学模型,我们主要感兴趣的量是每个寄主体内的感染蠕虫的平均数(记为m)和感染钉螺数(记为i).设受感染的钉螺的相对死亡率为常数记为δ,而且受感染的速度与健康的钉螺数成比例,把i看成时间t的函数,则满足方程(参考[1])didt=-iδ+C(m)(S-i) (1.1)
其中S表示钉螺的总数,C(m)表示感染率,它依赖于每个寄主体内已交配成对的蠕虫平均数p(m),由于产出的卵数与p(m)成正比,即C(m)=Bp(m),这里B是与m无关的因子.类似的分析可得m的变化率方程(参考[1])dmdt=-rm+iAS(1.2)
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