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求函数值域的十种常用方法
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[数学建模小论文]
求函数值域的方法有很多,没有通用的方法,要根据其不同特点,综合而灵活地运用各种方法求解,常用方法有:
一、 观察法
简单函数的值域常根据基本函数的值域,可利用观察法求解。
例1:求函数 的值域。
解:由 ,可知 , 得所求函数的值域为
二、 配方法
二次函数常用配方法,形如:求 的函数值域,都可以使用配方法。
例2:求函数 的值域。
解:令 显然有: 由
得 所以函数 的值域为
例3:求函数 的值域。
解:令 ,
则
函数变为
当 时, 当 时, ,故所求函数的值域为
三、 换元法
运用三角换元或代数换元是求解函数值域的常用方法,形如: ( 为常数, )的函数常用换元法,但应注意换元后新变量的取值范围。
例4:求函数 的值域。
解:令
则 ,
所求函数的值域为
例5:求函数 的值域。
解:函数的定义域为 , 设
故所求函数的值域为
四、 反函数法
常用于分子、分母都是一次式的分式函数,可以利用原函数和它的反函数的定义域与值域的关系,求反函数的定义域,从而达到目的。
例6:求函数 的值域。
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……
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