[数学建模小论文] 0 引言
探地雷达(Ground Penetrating Radar,简称GPR)是一种针对地下或物体内不可见目标的电磁探测技术,其电磁模型的理论基础是Maxwell方程边值问题.在工程物探实际中,地下介质参数往往是未知的,探地雷达反问题除完成常规电磁计算(正演)外,还要对未知介质参数进行反演计算.由于反问题具有不适定、非线性和计算量大的特点,寻求稳定抗噪、收敛域宽而且计算量较小的实用算法,就成为反演计算中最为重要的研究内容之一.
小波多尺度反演利用小波分解算法,将原始反问题分解在不同的尺度上,先在大尺度上迭代反演,得到一个较好的参数估计,再将这个估计作为次一级尺度上的初始猜测,继续迭代修正,直到反演出原问题的全局极小点.在小波多尺度反演的研究中,Dahlk[1]等针对带有线性算子的热传导方程逆问题,研究了如何将自适应小波方法应用于反问题的一些思想;Cohen[2]等提出了基于小波-伽辽金离散格式求解反问题的两种数值方法, Liu[3]等用小波多尺度反演方法数值求解了一类椭圆型方程的分布参数识别问题;Michel[4]提出了一种使用尺度函数和小波函数求解积分微分方程的小波多尺度正则化反演方法,并将其用于反演地球密度分布参数.尽管取得一些成果,但尚存某些重要问题需待解决,其中之一即是,如何处理在最大尺度上对全局极小的求解?
同伦方法是代数拓扑学中的一个基本概念,是求解非线性算子方程的一种快速稳定的收敛方法.其基本思想是代写论文借助同伦函数从辅助映射的零点连续跟踪到目标映射的零点.由Keller[5], Vasco[6], Everett[7],Jegen[8]等人将其应用于求解地震勘探及电磁勘探反问题,在国内由韩波[9]首次应用到石油测井反演.同伦反演做为一种高效实用的大范围收敛方法,在收敛范围和抗噪性方面表现出相对优势,但也存在一些问题……
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