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三类代数方程摄动解的渐近展开式

[数学建模小论文]    在求含有小参数的代数方程的摄动解的时候,精确解的形式一般不能预先知道,而必须作为求解过程的
一部分来确定.本文讨论的是具有某种特征的三类代数方程,求出其解的渐近展开式.
  (1)摄动方程的特征是它的退化方程不缩减原方程的次数,且无重根.则其根的渐近展开式为
      x = x0+εx1+ε2x2+…. (1)
  例1 考虑方程
      x3-(2+ε)x2-(1-ε)x+2+3ε=0, (2)
它的退化方程为
      x3-2x2- x+2=0, (3)
注意到方程(3)仍是三次方程且无重根.将(1)代入(2)得
      x30-2x20- x0+2+ε(3x20x1-4x0x1- x20+ x0- x1+3)+…=0.
令ε相同幂次的系数等于零,得到
      x30-2x20- x0+2=0, (4)
      (3x20-4x0-1)x1- x20+ x0+3=0. (5)
  方程(4)的解为
      x0=1,-1,2.
  从(5)式得出
      x1=x20- x0-33x20-4x0-1. (6)
  当x0=1,-1,2时,将它们代入方程(6)可分别得出x1=32,-16,-13.
  因此方程(2)的三个根分别是
      x =1+32ε+…,
      x =-1-16ε+…,
      x =2-13ε+….
    
    
  (2)摄动方程的特征是它的退化方程不缩减原方程的次数,但含有重根.则接近于退化方程中非重根的
摄动方程根的渐近展开式仍为(1);但接近于重根的摄动方程根的渐近展开式为
      x = x0+ενx1+ε2νx2+…,ν>0, (7)
其中x0为重根,而ν在分析过程中确定.这是因为对退化方程的解的代写论文修正量(即第二项)无界,故必须对形式
(1)进行校正来得到一致有效解.
  例2 考虑方程
     ……
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