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关于方程σ(n)=kn,k≥2解的讨论

[数学建模小论文]    引 言
    
    众所周知,当n满足σ(n) =2n时,n就是著名的完全数(Perfect number).Euclid已经知道:如果2p-1是素数,则2p-1(2p-1)是一个完全数,其中2p-1就是Mersenne素数.Euler证明了这些是仅有的偶完全数[1].
    
    奇完全数的存在性一直没有被解决,但是问题已经取得了很大的进展.Brent, Cohen及te Riele[2]已经将奇完全数的下界提升到10300.Brandstein[3]证明了奇完全数的最大素因子>5×105.
    
    本文主要讨论更一般的方程      σ(n) = kn,k≥2(1)的解的情况.
    
    首先证明上述方程不存在形如n = pa,或者p1p2…ps>6(其中p是素数,a≥1,pi为互异素数,i =1,2,…s)的解,然后对方程的解所必须满足的完全数;Mersenne素数;试除法条件进行理论论证[4].循序渐进地得到四个定理及一个推论,从而给出上述方程所存在解的具体形式,最后我们利用计算机在区间[4,108]上直接对此方程的解进行搜索,得到13个解,它们完全符合我们的理论分析.
    
    1 定理及其证明
    
    我们首先规定本节全部证明均要求n >1.在证明命题和定理之前我们需要两个引理.  引理1[5,6] 设n = pa11pa22…pass,pi均为素数,ai>0,i =1,2,…s是n代写论文的标准分解式,则      σ(n) =∏si =1∑aij =0pji=∏si =1pai+1i-1pi-1.  引理2 1+1p+…+1pk<pp-1,k≥1,p是素数.  证明 设f(x) =1+1p+…+1px,x≥1,p是素数,则f(x)为增函数.      limx→∞f(x) =limx→∞1-(1p)x+11-1p=pp-……
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