[数学建模小论文] 1 引言及定义
文[1]给出了自反Banach空间中极大闭子空间上度量投影的线性表达式.本文给出Banach空间中任意Chebyshev子空间上度量投影有线性表示的判据及有限余维Chebyshev子空间上度量投影的具体线性表达式,并指出极大闭子空间满足该判据.
设X为Banach空间,X*为对偶空间,记S(X)={x∈X:‖x‖=1}.对任意子空间L X,记L⊥={x*∈X*:x*(x) =0代写论文对任意x∈L成立}.对任意x*∈X*,记Kerx*= {x∈X:x*(x) =0}. 定义1 设X为Banach空间,L X为非空子集,集值映射PL:X→L定义为PL(x) = {y∈L:‖x-y‖=infz∈L‖x-z‖},称为从X到L上的度量投影.如果对 x∈X,PL(x)≠φ,则称L为存在集.如果对每个x∈X,PL(x)恰为单点集,则称L为Chebyshev集. 自反Banach空间中任意闭凸集皆为存在集,自反严格凸Banach空间中任意闭凸集皆为Chebyshev集. 若L为存在子空间,则L为闭集,且L上的度量投影有如下性质:PL(x)为闭凸集对每个x∈X成立.PL(λx) =λPL(x)对任意λ∈F成立,其中F为数域.PL(x+y) = PL(x)+y对任意x∈X及y∈L成立.(参看[3]P128定理8)
定义2 设X为Banach空间,L为闭子空间,若存在映上连续线性算子T:X→L满足T2= T,则称T为X到L上的投影算子.称T∧:X/KerT→L;x~= x+KerT |→T(x)为T的诱导算子. 存在X到L上的投影算子的充要条件是L可补,即存在X的闭子空间M使得M L = X.有限维子空间及有限余维闭子空间必可补.(参看[4]P295) 定义3 设X为Banach空间,{xi}ni=1 S(X)及{x*i}ni=1 S(X*)被称为为双正交规范列,如果x*i(xj) =δij,其中δij=1当i = j时,δij=0当i≠j时.2 Chebyshev子空间上的度量投影 引理……
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