[数学建模小论文] 1 引言及预备知识
本文考虑x″(t) +f(t,y(t)) = 0, t∈[0, +∞);y″(t) +g(t,x(t)) = 0, t∈[0, +∞);x(0) = 0, x′(+∞) = 0;y(0) = 0, y′(+∞) = 0,(1.1)其中f,g∈C[R+×R+,R+],x′(+∞)= limt→+∞x′(t),y′(+∞)= limt→+∞y′(t),R+=[0,+∞).近年来,微分系统的边值问题引起了很多学者的研究兴趣,在[1]中, Agarwal andO′Regan用Leray-Schauder定理考虑了耦合微分系统在有限区间上一个解的存在性.在[2]中倪小虹等在半直线上用Leggett-Williams不动点定理探讨了二阶微分方程边值问题三个解的存在性.本文所考虑的是半直线上耦合系统BVP(1.1),我们用Leggett-Williams不动点定理得到了三个正解的存在性,并且举例说明了条件的合理性.
令FC[R+,R] =:x∈C[R+,R]:supt∈R+ x(t) 1 +t<+∞.定义范数‖x‖F= supt∈R+ x(t) 1 +t,则FC[R+,R]为一个Banach空间.令G(t,s) =s, 0 s t<+∞,t, 0 t s<+∞.(1.2) 引理1.1 对任意的常数0 <a*<b*<∞,存在0 <c*< 1,使G(t,s)1 +t c*G(u,s)1 +u, t∈[a*,b*], u,s∈[0, +∞). 证明 由G(t,s)的定义取0 <c* mina*1 +a*,11 +b*< 1,则结论易证.证毕.设P=∶x∈FC[R+,R]:x(t) 0,且mint∈[a*,b*]x(t)1 +t c*x(u)1 +u,u∈[0, +∞) .令Pr={x∈P:‖x‖F<r}.则易证P是FC[R+,R]中的一个锥,且有x(t) c*‖x‖F,t∈[a*,b*].易知,若(x,y)∈C2[0,1]×C2[0,1]是BVP(1.1)的解当且仅当(x,y)∈C[0,1]×C[0,1]是下面积分方程组的解x(t) =∫+∞0G(t,s)f(s,y(s))ds, t∈[0, +&……
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