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一类二次非线性奇摄动Robin问题的渐进解

[数学建模小论文]    0 引言  文献对二次非线性奇摄动边值问题作了概括讨论.许多学者也对此类问题进行了进一步研究,所使用基本方法是微分不等式法.本文对一类问题μy″= (y′)2-h(y)(h(y) > 0,0 <μ<< 1)y(0,μ) -y(0,μ) =A,y(1,μ) +y′(1,μ) =B作出一些探索,这里将用边界层函数法构造其渐近展开式,且给出关于小参数μ的任意阶余项估计.为了研究这个问题的渐近解,需要给出一些必要的假设条件,以“Hi”(i= 1,2,…)的形式加以标注.这将在文章的叙述中逐步提出.H1:假设h(y)关于y有n+ 2次连续导数.令y′=z,则边值问题等价于μdzdt=z2-h(y)(h(y) > 0,0 <μ<< 1)  (1)dydt=z                  (2)y(0,μ) -z(0,μ) =A,y(1,μ) +z(1,μ) =B (3)为了更一般地讨论问题,令F(z,y,t) =z2-h(y),f(z,y,t) =z,  R(x(0,μ),x(1,μ)) =y(0,μ) -z(0,μ) -Ay(1,μ) +z(1,μ) -B=00,其中x= (y,z)T,这样,问题就能写成  μdzdt=F(z,y,t)        (4)dydt=f(z,y,t)         (5)R(x(0,μ),x(1,μ)) = 0     (6)H2:假设z00<-h(y00),其中z00,y00依赖于A,B,其意义及求法见后面的叙述.H3:假设F(z,y,t) = 0有孤立根z=φ(y,t) =-h(y).
    
    1 构造形式渐近解设问题(4)~(6)有以下形式的解:  x=x+Πx(7)  x=x0+μx1+μ2x2+…(8)  Πx=Π0x+μΠ1x+μ2Π2x+…(9)其中xi,Πix(i= 0,1,2,…)分别是xi(t),Πix(τ)(τ=t/μ)的省略形式.
    
    设初值  x(0,μ) =x0+μx1+μ2x2+…(10)这里x0,x1,x2,…是待定的参数,将在构造渐近解的过程中逐步求出.在(6)式中,可以用x(1,μ)代替x(1,μ),这是……
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