[数学建模小论文] 0 引言
考虑平面自治系统 dx dt=P(x,y) dy dt=Q(x,y) (1) 其中,P(x,y),Q(x,y)∈C1,(x,y)∈G R2, G为一单连通区域. 定义1 若存在Cr函数Φ(x,y),r≥2,(x,y)∈G, 使得 Φ(x,y) x=Q(x,y), Φ(x,y) y=-P(x,y) 则称(1)为全微分系统. 定义2 若存在Cr函数μ(φ)≠0,r≥1,φ= φ(p,q),p=p(x),q=q(y),p,q∈C1,(p,q)∈G, 使得自治系统 dx dt=μ(φ(p,q))P(x,y) dy dt=μ(φ(p,q))Q(x,y) 为一全微分系统,则称μ(p,q)为系统(1)的复合型 积分因子. 引理1 系统(1)为全微分系统的充要条件为 P(x,y) x+ Q(x,y) y= 0 (3) 引理2 μ(φ(p,q))为系统(1)的复合型积分因子的 充要条件为 P(x,y) lnμ(φ(p,q)) x+Q(x,y) lnμ(φ(p,q)) y= - P(x,y) x- Q(x,y) y 引理3 设μ(φ(p,q))为系统(1)的复合型积分因 子,Φ(x,y) =c是(1)的通积分,则μ(Φ)F(Φ)是系 统(1)的积分因子通式.
在平面自治系统(1)的全局结构分析[1]中,全 微分系统是十分重要和有意义的,若(1)为全微分系 统,则很容易求其通积分为ψ(x,y) =c,其中c为任 意常数.但全微分系统毕竟是少数,若系统(1)虽不 为全微分系统,但存在积分因子使得系统(1)为全微 分系统,我们同样可求出其通积分Φ(x,y) =C0,其 中C0为任意常数.对于各种复合型积分因子在文 [2-5]中进行了讨论,文[6]在自治系统下讨论了一 般积分因子的存在性,本文在上述基础上给出了几 类平面自治系统复合型积分因子求解定理和应用. 1 积分因子求解定理 定理1 平面自治系统(1)具有型如μ(pα+qβ)的 复合型积分因子充要条件为 P(x,y) x+ Q(x,y) y -P(x,y)αpα-1p′-Q(x,y)βqβ-1q′=f(φ) (4……
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