[数学建模小论文] 0 引言
稀疏线性代数方程组的求解在二维三温(2D3T)辐射扩散方程组数值求解中占有重要地位.迭代法及相 应的预处理技术是求解该类方程的主要方法,近年来,很多作者针对2D3T方程做了大量工作,推动了该课 题的研究,如文[1-7].当前,随着高性能计算机特别是并行计算技术在2D3T辐射流体力学数值模拟中的应 用和发展,线性解法器的算法可扩展性成为制约大规模数值模拟效率的主要瓶颈之一[8].因此,发展高效的 算法仍然是当前的重要任务.
代数多重网格(AMG)方法[9-13]是具有最优性质的求解大规模稀疏线性代数方程组最有效的方法之一, 在科学计算领域得到广泛应用.然而,对于由偏微分方程组离散得到的线性系统,由于多个物理量耦合在一 起,经典AMG(C-AMG)方法难以直接应用,相关研究远没有标量方程的情形成熟,是目前AMG研究的一个热 点和难点[13,14].当前主要有两种方法用于求解PDE方程组:基于未知量(unknown-based)和基于网格点(point- based)的方法[14].前者的粗化、松弛过程以及插值均在各物理量的内部进行,粗网格算子的构造仍然基于 Galerkin条件;后者将属于同一网格点的物理量看成一块(称为网格点块),基于一个与网格同规模的辅助矩 阵(primary matrix),其松弛、插值和粗化均基于网格点块和该辅助矩阵进行构造,直接将标量情形的AMG方 法拓展到方程组情形.
具体到2D3T问题,我们认为影响线性解法器性能的主要因素在于:①微分方程中光子、电子和离子温 度存在耦合关系,且电子分别与光子、离子的耦合强度相差很大;②在同种介质中各温度的扩散系数(包括物 理参数和非线性特性)有很大差异;③在多介质情形,部分物理参数在介质界面处强间断;④光子温度在扩散 过程中可能存在辐射突变区[5];⑤实际计算中受流体计算的影响,网格将变得复杂……
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