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周期边值问题的延拓法求解

[数学建模小论文]    摘要本文主要讨论用延拓法求解常微分方程周期边值问题.与不动点方法相比较，它使得迭代的收敛域得到有效扩大.

    关键词周期边值问题，不动点方法，延拓法

    微分方程周期边值问题是一类重要的边值间题，是检验许多其它微分方程解的存在唯一性的试金石.它也是动力系统研究的基础.需要特别指出的是，有关非线性微分方程周期边值问题的数值解法相对甚少，研究人员在周期解存在性的构造性证明方面有所突破{‘巾}，对周期解的数值方法产生了一些影响

    .理论上可以解决解的存在唯一性问题，但是数值化求解对初值的依赖性较强.如何能在离散化后使得迭代方法能代写论文够保证稳定而大范围地收敛，延拓法就是其中之一1周期边值问题的不动点解法考虑下列周期边值问题{x“+夕(r，x)=e(t);x(0)=x(2二)，x，(O)=x‘(2二).(l)为了构造不动点算法，首先考虑相应方程的初值间题{x“+g(亡，x)=e(t);x(o)=a，x‘(o)=口·(2)记。=(a，口)，，而相应的解记为劣=x(。，v).定义函数f(v)=(x(2二，。)，二，(2二，。))T.若f(v)=。(即?为f的不动点)，则v为周期边值问题(l)的解在t二0时的初始点.为此，再构造函数F(的=f(。)一。，使问题(1.1)转化为求非线性方程组F(司=0的解[z].如果使用牛顿迭代求解F(v)=0，即v‘+1=v‘一[F‘(v‘)]一IF(v‘)，记A=F‘(v‘)，则A=f’(。‘)一1.其中，I为单位矩阵，f(v)的Jacobi矩阵为)丛累一助0fl丽娇丽/了....、、、一一飞‘VZ‘.、.户」为了避免计算过程中每次计算Jacobi矩阵f’(v)，可使用拟牛顿法求人+:二A‘+△A.例如，用秩l牛顿法(Br叮den秩1方法):令△v=v‘+:一v‘，△F=F(v‘+l)一F(v&l……

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