[数学建模小论文]
而费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即在ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”。 今天我们来探索费马点。首先将三角形分为两种情况: ①当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,则费马点就是这个内角的顶点。 下面来验证这个结论: 对三角形内任意一点P,延长BA至C’使得AC=AC’,做∠C’AP’=∠CAP,并且使得AP’=AP, PC’=PC,即把三角形APC以A为中心做旋转变换(如图)。
则△APC≌△AP’C’(旋转的不变性) ∵∠BAC≥120°(已知) ∴∠PAP’=180°-∠BAP-∠C’AP’(平角的意义)=180°-∠BAP-∠CAP(等量代换)=180°-∠BAC≤60° ∴等腰三角形PAP’中(已知AP’=AP),AP≥PP’(∠PAP’<∠AP P’) ∴PA+PB+PC≥PP’+PB+ P’C’>BC’(两边之和大于第三边)=AB+AC(已知AC=AC’) 所以A是费马点。即之前的结论。 下面探讨第二种情况: ②如果三个内角都在120度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。 做△ABC内一点P,使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°,分别作PA,PB,PC的垂线,交于D,E,F三点(如图),再作一点P’,不与点P重合,连结P’A,P’B,P’C,过P’作P’H垂直EF于H。 ∵∠APB=120°,∴∠PAB+∠PBA=180°-120°=60° 且∠PAF=∠PBF=90°,∴∠F=180°-(90°+90°-60°) 同理可得:∠D=∠E=∠F=60°,即△DEF为等边三角形,设边长为d,面积为S。 则S= 1/2 d (PA+PB+PC) ∵P’H ≤ P’A ∴ 1/2×d×P’H×2S ≤1/2 ×d ×P’A×2S 又∵1/2×d×P’H=△EP’F ∴ 2S△EP’F≤ d ×P’A×S 同理有:2……
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