[数学建模小论文]
一、探求几何最值问题
有时在求多元函数的几何最值有困难，我们不妨采用参数方程进行转化，化为求三角函数的最值问题来处理。
例1（1984年考题） 在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a、b、c，且c=10,，P为△ABC的内切圆的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值和最小值。
解 由，运用正弦定理，可得：
∵sinA·cosA=sinB·cosB
∴sin2A=sin2B
由A≠B，可得2A=π-2B。
∴A+B=，则△ABC为直角三角形。
又C=10,，可得：
a=6,b=8,r=2
如图建立坐标系，则内切圆的参数方程为
所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα)，从而=80-8cosα
因0≤α＜2π，所以
例2 过抛物线 （t为参数，p＞0）的焦点作倾角为θ的直线交抛物线于A、B两点，设0＜θ＜π，当θ取什么值时，｜AB｜取最小值。
解 抛物线 （t为参数）
的普通方程为=2px，其焦点为。
设直线l的参数方程为：
（θ为参数）
代入抛物线方程＝2px得：
又∵0＜θ＜π
∴当θ=时，｜AB｜取最小值2p。
二、解析几何中证明型问题
运用直线和圆的标准形式的参数方程中参数的几何意义，能简捷地解决有关与过定点的直线上的动点到定点的距离有关的问题。
例3 在双曲线中，右准线与x轴交于A，过A作直线与双曲线交于B、C两点，过右焦点F作AC的平行线，与双曲线交于M、N两点，求证：｜FM｜·｜FN｜=·｜AB｜·｜AC｜（e为离心率）。
证明 设F点坐标为(c,0)，
A点坐标为(,0)。
又，设AC的倾角为α，则直线AC与MN的参数方程依次为：
将①、②代入双曲线方程，化简得：
同理……
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