[数学建模小论文]
例1证明Cnm=Cnm-1+Cn-1m-1.
分析:原式左端为m个元素中取n个的组合数.原式右端可看成是同一问题的另一种算法:把满足条件的组合分为两类,一类为不取某个元素a1,有Cnm-1种取法.一类为必取a1有Cn-1m-1种取法.由加法原理可知原式成立.
例2证明Cnm·Cpn=Cpm·Cn-pm-p.
分析:原式左端可看成一个班有m个人,从中选出n个人打扫卫生,在选出的n个人中,p人打扫教室,余下的n-p人打扫环境卫生的选法数.原式右端可看成直接在m人中选出p人打扫教室,在余下的m-p人中再选出n-p人打扫环境卫生.显然,两种算法计算的是同一个问题,结果当然是一致的.
以上两例虽然简单,但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的一般思路:先由恒等式中意义比较明显的一边构造一个组合问题的模型,再根据加法原理或乘法原理对另一边进行分析.若是几个数(组合数)相加的形式,可以把构造的组合问题进行适当分类,如例1,若是几个数(组合数)相乘的形式,则应进行适当的分步计算,如例2,当然,很多情况下是两者结合使用的.
例3证明Ckm+n=C0mCkn+C1mCk-1n+C2mCk-2n+…+CkmC0n,其中当p>q时Cpq=0.
证明:原式左边为m+n个元素中选k个元素的组合数.今将这m+n个元素分成两组,第一组为m个元素,剩下的n个元素为第二组,把取出的k个元素,按在第一组取出的元素个数i(i=0,1,2,…,k)进行分类,这一……
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