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巧设单位“1”解答行程难题

[数学建模小论文]      
    如果在解答的过程中,能根据题意恰当地设某段路程为单位“1”,以此为尺子,来度量两个或几个运动 体在不同的时间内,所行驶的路程的长短,这样,就能使数量关系明朗化,就能驾轻就熟,将问题化难为易。
    例1 甲、乙、丙三人各以一定的速度,从A地到B地,丙出发5分钟后乙才出发,乙用25分钟追上丙 ;甲又比乙晚出发5分钟,经过40分钟才追上丙。甲出发后,需用多少分钟才能追上乙?
    解 设乙追上丙所走的这段路程为单位“1”,则 乙每分钟能行这段路程的1/25;丙每分钟能行这 段路程的1/(25+5)=1/30;
    根据“丙出发5分钟后乙才出发”、“甲又比乙晚出发5分钟”,则甲比丙晚出发10分钟。因此,当甲 出发时,丙已行驶了这段路程的1/30×10=1/3。甲追上丙,比丙多行了这段路程的1/3,花了4 0分钟。根据追及问题的关系式,可知甲比丙每分钟多行这段路程的1/3÷40=1/120。因此,
    甲每分钟能行这段路程的1/30×(5+5)÷40+1/30=1/24。
    通过所设的乙追上丙所走的这段路程为单位“1”,已推出了甲和乙速度之间的关系,因而甲追上乙所需 的时间就可知是
    (1/25)×5÷(1/24-1/25)=120(分)
    例2 某人沿公路骑自行车匀速前进。他发现这一公路上的公共汽车,每隔20分钟就有一辆车超过他, 每隔12分钟就有一辆车和他迎面相遇。如果这路车的两个车站,都以间隔相同的时间发一辆车,那么,每隔 多少分钟发一辆车?
    解 由于两个车站都是以间隔相同的时间发车,所以在这两个车站间的这段公路上,不论是什么时刻,同 向行驶的所有车辆,两车间的……
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