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证明圆的切线的两种常用方法
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[数学建模小论文]
证明直线与圆相切是一类常见题目,解决这类问题常用的方法有两种。
一、
连半径,证垂直
若图形中已给出直线与圆的公共点,但未给出过点的半径,则可先连结过此点的半径,再证其与直线垂直。
例1 如图(1)所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆交于BC于D,作DE⊥AC于E。求证:DE为⊙O的切线。
证明:连结OD
∵OB=OD
∴∠B=∠ODB
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴∠ODB=∠C
∵ DE⊥AC
∴∠C+∠CDE=90°
∴∠ODB+∠CDE=90°
∴∠ODE=90°,即DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线。
例2 如图(2)所示,AB是⊙O的直径,过A点作⊙O的切线,在切线上任取一点C,连结OC交⊙O于D,连结BD并延长交AC于E,求证:CD是△ADE外接圆的切线。
证明:取AE的中点F,连结FD。
∵AB为直径,
∴AD⊥BD
∵FD=FE(=FA)
∴∠FED=∠FDE
∵∠CDE=∠BDO=∠B
∠FEB+∠B=90°
∴∠FDE+∠CDE=90°
即FD⊥CD
∴CD是△ADE的外接圆的切线。
二、
作垂线,证半径
若图形中未给出直线与圆的公共点,则需先过圆心
……
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