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证明圆的切线的两种常用方法

[数学建模小论文]    证明直线与圆相切是一类常见题目,解决这类问题常用的方法有两种。
    一、
    连半径,证垂直
    若图形中已给出直线与圆的公共点,但未给出过点的半径,则可先连结过此点的半径,再证其与直线垂直。
    例1 如图(1)所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆交于BC于D,作DE⊥AC于E。求证:DE为⊙O的切线。
    证明:连结OD
    ∵OB=OD
    ∴∠B=∠ODB
    ∵AB=AC
    ∴∠B=∠C
    ∴∠ODB=∠C
    ∵ DE⊥AC
    ∴∠C+∠CDE=90°
    ∴∠ODB+∠CDE=90°
    ∴∠ODE=90°,即DE⊥OD
    ∴DE是⊙O的切线。
    例2 如图(2)所示,AB是⊙O的直径,过A点作⊙O的切线,在切线上任取一点C,连结OC交⊙O于D,连结BD并延长交AC于E,求证:CD是△ADE外接圆的切线。
    证明:取AE的中点F,连结FD。
    ∵AB为直径,
    ∴AD⊥BD
    ∵FD=FE(=FA)
    ∴∠FED=∠FDE
    ∵∠CDE=∠BDO=∠B
    ∠FEB+∠B=90°
    ∴∠FDE+∠CDE=90°
    即FD⊥CD
    ∴CD是△ADE的外接圆的切线。
    二、
    作垂线,证半径
    若图形中未给出直线与圆的公共点,则需先过圆心……
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