[数学建模小论文] 降维法是解决立几体几何问题的常用方法,作为它的反面——升维法,却能创设新的数学情境,将问题的本质结构充分暴露,规律尽收眼底. 一、 证共线点 在立几中,利用“两个平面的公共点共线”很容易地处理一类共线点问题,一个自然的问题是:“能否利用它解决平几中的共线点?由此得出升维处理法;即设法构造另一平面,使点所在的直线为两个平面的交线,然后说明要证的点是它们的公共点. 例1(Menelaus 定理) 设X,Y,Z 各是△ABC三边BC,CA,AB所在直线上的点,则它们共线的充要条件是: A' B'C' B A Z Y C X 图9-1 =-1 证(充分性)设△ABC所在平面为α,分别过A、B、C作与平面α垂直的线段AA'、BB'、CC',使 (当点X在BC上,则BB',CC' 在平面α的两侧,不然为同侧,其余类似,如图9-1) ∴ 点X,Y分别在直线BC,CA上 此时 ∴ 点Z在直线AB上 设△ABC所在平面为β,则X、Y、Z∈β 又X、Y、Z∈α,故X、Y、Z三点共线 (必要性) 若X、Y、Z共线于则过作平面β使之不与平面α垂直.分别过A、B、C作垂直于α的直线交β依次于点A'、B'、C',由三角形的相似性不难得 S A' C' A B' C……
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