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找恒定关系求点的轨迹方程

[数学建模小论文]    摘要:通过《几何画板》作出的习题课件,展示各个量在变化过程中的相互关系,分析如何从中找出恒量或者恒定关系,确定解题思路。
    正文:在求曲线的轨迹方程时,如果能够将题设条件转化为具有某种动感的直观图形,通过观察图形的变化过程,发现其内在联系,找出哪些是变化的量(或关系)、哪些是始终保持不变的量(或关系),那么我们就可以从找出的不变量(或关系)出发,打开解题思路,确定解题方法。
    例0 已知Q点是双曲线C上的任意一点,F1、F2是双曲线的两个焦点,过任一焦点作∠F1QF2的角平分线的垂线,垂足为M。求点M的轨迹方程并画出它的图形。
    分析:当Q在双曲线上任意移动时,因为MQ是∠F1QF2的角平分线且PF2⊥MQ,所以△MQF2≌△MQP,从而QF2=QP。根据双曲线的定义恒有PF1=2a。
    解:如图0所示,不妨设双曲线的方程为-=1,则F1(-c,0)。因为MQ是∠F1QF2的平分线且PF2⊥MQ,所以PQ=F2Q,
    由双曲线的定义,得PF1=2A, 设M(x,y) 则P(2x-c,2y)
    从而有
    [(2x-c)-(-c)]2+(2y-0)2=(2a)2
    化简 得
    x2+y2=a2
    这就是点M的轨迹方程。
    例1
    从抛物线的顶点作其动切线的垂线,求垂足的轨迹方程并判断轨迹的变化趋势。
    分析:当Q在抛物线上任意移动时,始终有OM⊥MQ且直线MQ与抛物线恒有两个重合的交点(即相切),由于直线MQ的方程可以用点M的坐标表示,所以就可以通过△=0得到M的轨迹方程。
    解:如图一所示,不妨设抛物线的方程为y=2px,设M(u,v) ,当u≠0时,
    则切线方程……
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投稿人:gtr     最后编辑:pjnj
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