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求二元函数条件最值的换元技巧

[数学建模小论文]    二元函数一般是指含有两个自变量的函数关系,通常记作z=f(x,y)。求二元函数条件最值是中学数学常见的题型,由于求解的技巧性强,学生往往感到困难,所以是中学数学的一个难点。换元法是求解这类问题的有效方法。下面通过例子说明换元法的应用。
    例1、 已知a、b是正常数,x、y是正变数,且 ,
    求x+y的最小值。
    分析:由a、b、x、y∈R+,且 ,可考虑使用三角代换,把问题转化成为三角问题解决。
    解:据条件可设 , ,θ∈(0, )
    ∴
    ∴
    当且仅当 ,即 时取等号,
    故x+y的最小值是
    例2、已知 ,求 的值。
    分析:由条件知s是x、y的二次式,故可考虑三角代换。0,可设
    代入条件式可得:
    解出s得:
    根据正弦函数的有界性可知:当sin2θ=1时,
    当sin2θ=-1时,
    故,所求值为 。
    注:以上两例利用的是三角换元法,这种方法的运用一方面要注意三角公式的结构特点,另一方面更应该注意所给条件或所求式子的特征。
    例3、已知 ,求 的最小值.
    分析:由于 ,所以可令t=x+y,进行代换。0且xy = 2,令t = x+y,则
    , 当且仅当x=y= 时取等号。
    此时
    ∵ 在 上是增函数,
    故,当t=2 ,即x=y= 时,u取最小值4 - 4 .
    例4、实数x、y满足 ,求……
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投稿人:gtr     最后编辑:pjnj
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