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解题杂谈 |
[数学建模小论文] 一、分与合
例1设ａ2ｂ2［1／ｂ2ｃ2＋1／ｃ2ｄ2＋1／ｄ2ａ2］－ｂ2ｃ2［1／ｃ2ｄ2＋1／ｄ2ａ2＋1／ａ2ｂ2］＋ｃ2ｄ2［1／ｄ2ａ2＋1／ａ2ｂ2＋1／ｂ2ｃ2］－ｄ2ａ2［1／ａ2ｂ2＋1／ｂ2ｃ2＋1／ｃ2ｄ2］＝0．①
求证：ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ与ａｂ＋ｃｄ－ｄａ－ｂｃ中至少有一个为零．
讲解这是文［1］谈数学和谐美的第一个例子．整个分析处理过程如下：
已知条件是分式，而结论是整式，不和谐，且条件复杂，结论简单．所以，可以运用顺推策略探索解题途径，并将分式化为整式，使条件与结论和谐化，另外，还需将结论等价地变为
（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ）（ａｂ＋ｃｄ－ｄａ－ｂｃ）＝0，②
即ａ2ｂ2＋ｃ2ｄ2－ｂ2ｃ2－ｄ2ａ2＝0．③
使目标更明确．
将已知条件去括号，并整理得
（ａ2ｂ2／ｃ2ｄ2－ｂ2ｃ2／ｄ2ａ2）＋（ｃ2ｄ2／ａ2ｂ2－ｄ2ａ2／ｂ2ｃ2）＋（ａ2ｂ2＋ｃ2ｄ2）（1／ｂ2ｃ2＋1／ｄ2ａ2）－（ｂ2ｃ2＋ｄ2ａ2）（1／ｃ2ｄ2＋1／ａ2ｂ2）＝0．④
即ａ2ｂ2／ｃ2ｄ2－ｂ2ｃ2／ｄ2ａ2＋ｃ2ｄ2／ａ2ｂ2－ｄ2ａ2／ｂ2ｃ2＝0，
去分母得
ａ4ｂ4－ｂ4ｃ4＋ｃ4ｄ4－ｄ4ａ4＝0．⑤
即（ａ4－ｃ4）（ｂ4－ｄ4）＝0．⑥
由此得ａ2＝ｃ2或ｂ2＝ｄ2．
当ａ2＝ｃ2时，
ａ2ｂ2＋ｃ2ｄ2－ｂ2ｃ2－ｄ2ａ2
&……
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| 投稿人：gtr |
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最后编辑：pjnj |
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