[数学建模小论文] 这是一次作业中的一道题:
问题：是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由：
（1） 渐近线为x+2y=0及x-2y=0;
（2） 点A（5，0）到双曲线上动点P的距离的最小值为 .
这是一道流传较广的试题, 题目综合性较强，对学生的能力要求较高. 不出所料，作业收上来后，能够完整做对的学生为数寥寥. 然而我又欣喜地看到，尽管有些学生还不能完整地解决，但是如果循着学生的思路对此题进行重新审视，发现只要发动学生对这些思路进行评判、再探索，这其实是一个很好的研究性学习素材. 于是我专门用了一节课对此题作了评讲.
我先出示了学生T对此题的部分解答：
解：当双曲线焦点在x轴上时（焦点在y轴上的情况他还未考虑出），易知双曲线的右顶点到点A的距离最短.
由双曲线渐近线为 , 可设双曲线方程为 (b>0).
双曲线的右顶点为（2b,0）,
. 故 .
因此这样的双曲线存在，且其方程为： .
尽管是部分解答，却也够“简洁”了！当同学们看完解答后，一时竟没有学生提出疑议——显然，他们也认为解答中用到的一个“事实”：双曲线的右顶点到点A的距离最短无疑是正确的. 经过一番思索后，终于有思维慎密、严谨的同学对此提出了置疑，然而他也一下子拿不出什么根据. 这时我适时地启发道，数学讲求的是严密，有时光凭猜测、估计，还不能揭示数学现象的本质特征，这个问题中，究竟是不是双曲线的右顶点到点A的距离最短，并不是“易知”的，它还需要我们的精确论证. 那么，我们能否对此问题作一研究呢？
同学们一个个情绪高涨，跃跃欲试. 不久，几个成绩较好的学生拿出了他们的研究成果：设双曲线方程为 （ > >0）， A(m,0)(m>0)为x轴正半轴上一点，设P（x,y）为双曲线上任一点，其中 .
则
=
&nb……
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